Η ομορφιά των Μαθηματικών

Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ φ: ΑΣ ΤΟΝ ΓΝΩΡΙΣΟΥΜΕ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ

Πέντε ερωτήματα περιμένουν μία απάντηση.

1. Υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί κατά μία μονάδα; Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

2. Υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε εάν τον ελαττώσεις κατά μία μονάδα να αντιστραφεί;

Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

3. Χωρίζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε δύο κομμάτια. Στη γλώσσα της ελληνικής Γεωμετρίας λέμε ότι κάνουμε ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ όταν ο λόγος του μεγάλου προς το μικρό είναι ίσος με το λόγο ολόκληρου προς το μεγάλο. Ποια είναι η τιμή αυτού του λόγου;

4. Ένα κανονικό δεκάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε  κύκλο.  Η ακτίνα του κύκλου R είναι βέβαια μεγαλύτερη από την πλευρά του δεκαγώνου L.  Πόσες φορές;

5. Η ακολουθία Fibonacci είναι η εξής: 
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025 . . Καθένας από τους όρους της προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων, δηλαδή  αν = αν-1 + αν-2 . Αν φτιάξουμε μια ακολουθία που κάθε όρος της να προκύπτει από το λόγο δύο διαδοχικών όρων της ακολουθίας Fibonacci θα έχουμε:

     

Στη συνέχεια θα διαπιστώσουμε ότι η ακολουθία αυτή «συγκλίνει» σε κάποιο αριθμό.

Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;
ΠΗΓΗ: http://users.sch.gr/kassetas/ed0math24.htm 

Η ΣΧΕΣΗ ΤΗΣ ΧΡΥΣΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ Fibonacci